Savoir | 廣義相對論的誕生：《相對論百年故事》（2015）

廣義相對論的誕生：《相對論百年故事》（2015）

2015/09/26 10:05

《相對論百年故事》是台灣第一本自製的相對論科普書籍。

文｜聶斯特、陳江梅

　　愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生，常常翹課、成績並不突出，最後勉強達到畢業門檻；他大部分的時間和精力，均致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。愛因斯坦自己說過，他曠課的時間絕大部分待在家裡，以宗教狂熱的熱誠學習理論物理。至於考試，愛因斯坦則依賴他的同學格羅斯曼（Marcel Grossmann, 1878-1936）在上課時所作的筆記。

　　因為愛因斯坦的經常缺課，再加上時常不夠尊重師長的態度，使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯（Heinrich Friedrich Weber, 1843-1912）曾經責備他說：「你是一個很聰明的孩子，愛因斯坦，非常聰明的孩子，但是你有一個很大的缺點，就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」

　　事實上，在小學至高中時期，愛因斯坦是個好學生，特別是他在數學上的表現曾受到高度的關注。但是，當他考上了蘇黎世理工學院後，愛因斯坦對課業方面則採取知道就好的態度。例如，他很少專注於閔可夫斯基（Hermann Minkowski, 1864-1909）教授的課程，甚至翹掉很多他的課。閔可夫斯基曾經稱愛因斯坦為「懶狗」。許多年後，關於狹義相對論的發表，閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到」。

　　廣義相對論所討論的，是自然界中的重力作用。重力，也就是萬有引力，是最為人類所熟知的作用力，我們很容易地就能觀察到周遭物體總是向下掉落的現象，這就是地球所產生的重力作用結果。牛頓首先理解到，萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因，也是天體中星球運行的作用力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式，再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律，構成了牛頓力學的體系，主導我們對物理的認知達數百年；直到愛因斯坦相對論的奠定，我們對這個物理領域的理解，才又往前跨出了重要的一步。而廣義相對論就是牛頓萬有引力理論的推廣。

　　愛因斯坦廣義相對論的理論基礎，起源於一個稱為「等效原理」（equivalent principle）的基本概念。這個想法出現在1907年，根據愛因斯坦的說法，他是某天坐在伯恩專利局辦公室裡得到了這個靈感。等效原理的基本概念很簡單，就是當一個人在自由墜落（free falling）的時候，他是感受不到自己的重量的。自由墜落是一個加速的運動狀態，而物體的重量則是重力作用的結果；因此，等效原理表明了這兩個物理現象間有一定的關聯性，也就是重力作用原則上是等價於加速度。這個想法給了愛因斯坦很深的啟發，引導他建立一個革命性重力理論的方向。愛因斯坦甚至曾經說過，等效原理是一輩子中令他感到最快樂的想法。

　　以等效原理為基礎出發，愛因斯坦開始逐步地建構廣義相對論的殿堂；當然，這個過程不可能一蹴可及，途中遭遇了重重的困難。從1907年等效原理的想法出現開始算起，直到1915年底廣義相對論的誕生，在這八年的光陰中，愛因斯坦做過了許多不同的嘗試，在錯誤中修正自己的方法，有時答案幾乎已在眼前，可惜卻因為某個錯誤的理解而失之交臂。在廣義相對論發展的時期，愛因斯坦的職業，也從伯恩的專利局職員，轉變成蘇黎世大學的理論物理副教授、布拉格大學教授，最後又回到了蘇黎世理工大學。

　　等效原理指出，重力可以被看成是加速度，因為重力在空間中無所不在，所以必須引進適當的物理量來表示「加速度場」。此外，狹義相對論提出了一個重要的新概念，在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的。勞侖茲（Hendrik Lorentz, 1853-1928）已經提出了兩個相對等速運動的觀測者間，所測量到的時間和長度的轉換關係，也就是說，時間和空間必須被看成一體，形成一個稱為「時空」（spacetime）的概念；閔可夫斯基提出適用於狹義相對論的四維時空數學架構；而愛因斯坦則首先在四維平直時空上思考新的重力理論。在布拉格時期，他嘗試相對簡單的純量（scalar）理論，他將光速視為一個空間的函數，並預期這個純量函數會如同牛頓萬有引力理論中的重力勢一樣，可以表示重力場的大小。

　　不過，這個嘗試最後並沒有成功，而且愛因斯坦也開始理解到，單單只用一個純量不足以表示重力作用。在從布拉格回蘇黎世的前後，他已經開始考慮重力的張量（tensor）理論，思考使用時空的度規（metric）來描述重力場。在四維的時空，度規是一個四乘四的對稱矩陣，所以有十個分量，決定時空中長度和角度的大小。以直覺的圖像來說明愛因斯坦的新方案，就是用時空的彎曲程度，來表示重力場的大小。時空彎曲愈大的地方，加速度愈大，也代表重力愈強。

　　一個完整的重力理論包含兩個部分：第一部分需要知道物質如何產生重力場，在牛頓的理論中亦即萬有引力方程。第二部分是重力場如何作用在物體上，因而改變物體的運動狀態，在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下，重力如何作用在物體的部分是相對容易解決，物體在彎曲時空中運動所走的是最短路徑，而最短路徑在數學上可由測地線方程（geodesic equation）算出。因此，廣義相對論的建構中最核心的問題，就是必須推導出物質如何彎曲時空的重力場方程。

　　儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻，但是要將他的想法具體地實踐出來，需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構現在稱為「微分幾何」（differential geometry）的數學工具，便成了廣義相對論所需要的數學平臺。但不幸地，愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何，以致於遲遲無法構建出一個具有一致性的理論。回到蘇黎世後，他向同學格羅斯曼再次尋求幫助，他向老同學拜託：「格羅斯曼，你一定要幫幫我，否則我會瘋了。」

　　愛因斯坦開始和格羅斯曼合作，埋首於廣義相對論的建構，這段期間有關愛因斯坦的思想脈絡和工作內容，均詳細地記載於被稱為「蘇黎世筆記」（Zurich notebook）的檔案中。經過了一段時間的努力，愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要」（Entwurf）論文（完整論文題目為Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation），這篇論文分為物理與數學兩部分，分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。

物理與數學的火花：廣義相對論誕生

　　廣義相對論的誕生，也就是推導出正確的重力場方程式，發生在1915年的11月，那一個月份，愛因斯坦分別在4日、11日、18日和25日發表了有關廣義相對論的論文，從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形，逐步改進結果，而正確的重力場方程式則出現在25日的論文中。

　　愛因斯坦意識到1913年與格羅斯曼「綱要」論文中的那次嘗試幾乎是正確的，其中所缺乏的是如何正確地將公式中的時空曲率和質量分布關聯起來。起初，他也重蹈了格羅斯曼的錯誤，只專注於將不同形式的里奇張量組合對應到物質的能動張量，當然，所得到的理論依然是不自洽的。愛因斯坦後來發現到了這個矛盾，並試圖修正。在1915年11月的論文中，從比較特殊簡單的能動張量形式開始，一步步地修正他的理論，並在25日的論文中提出了正確的重力場方程式。

　　重力場方程式中的幾何部分，除了里奇張量外，還需要加上一項包含曲率純量的貢獻，將曲率純量乘上同是二階張量的度規，正是在「綱要」論文中所欠缺的部分。最後，將里奇張量、曲率純量和度規張量做一個特定的組合，定義了現在稱為愛因斯坦張量（Einstein tensor）的二階張量，而重力場方程，被稱為愛因斯坦方程，便是時空幾何的愛因斯坦張量等於物質的動張量（忽略了比例常數）。這組方程告訴我們物質的分布如何造成時空的彎曲，時空彎曲的程度經由測地線方程給出加速度，而根據等效原理，我們就知道重力作用大小。

　　愛因斯坦很快地重新考慮了太陽周邊時空的彎曲，如何影響行星運動和光線的傳播。他重複了三年前和貝索關於水星軌道近日點進動的計算，很高興地發現，得到的結果和天文上已知的觀測數據是相符的。他也重新計算了光線通過太陽附近，因重力場的影響所造成的路徑彎曲，修正了他在1911年的預測結果，新的計算數值是先前結果的兩倍大。

　　希爾伯特有關重力場方程式的論文，也是在完成在這個時間點，所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915年11月25日，但就在五天之前，也就是11月20日，著名的數學家希爾伯特在哥廷根（Gottingen）的報告中，介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型，他從作用量（action）出發，利用變分原理（variation principle），進而分析理論的數學性質。

　　變分方法是在牛頓力學系統中被建構出來的，希爾伯特將它用到重力與電磁的整合理論上。作用量是個純量，而且當時已經知道電磁場的作用量形式。對於幾何所代表的重力部分，希爾伯特很自然地猜測它的形式是曲率純量對時空的積分，將此作用量對度規做變分，就可得到電磁場產生重力場的愛因斯坦方程式。這是一個非常簡潔、漂亮的方法。關於希爾伯特報告內容的論文，則正式發表於隔年3月，在論文的印刷版本中，希爾伯特也推崇了愛因斯坦：「重力微分方程，在我看來，符合愛因斯坦在他的論文中所建立的廣義相對論大綱。」

　　愛因斯坦和希爾伯特論文發表的時間十分接近，導致了誰先孰後的爭議：發現重力場方程式應歸功於愛因斯坦還是希爾伯特？有些物理學家和科學史家認為希爾伯特首先發現重力場方程式，而愛因斯坦則是在幾天之後獨立地發現了它。

　　希爾伯特參與廣義相對論的研究是始於1915年6月，那年夏天，愛因斯坦訪問了哥廷根，並發表了一系列演講介紹他的重力理論。他和希爾伯特對理論中的問題進行深入地討論。這是他們首次碰面，愛因斯坦對希爾伯特有高度的好感，他曾說過：「我在哥廷根的一個星期，認識了並且喜愛他。我舉行了六次兩小時長的演講介紹新的重力理論，最讓我高興的是我完全說服了那裡的數學家。」

　　在接下來的幾個月，希爾伯特深入研究關於愛因斯坦的理論，他很快就找到了一個優雅的數學處理方法。他寫信告訴愛因斯坦他的研究成果，而愛因斯坦則要了希爾伯特的筆記與計算的副本。愛因斯坦在11月18日前顯然收到了這些筆記副本，因為就在這一天，他回覆希爾伯特說：「你所建立的系統，據我觀察，與我在最近幾個星期發現、並且在學院報告的結果是完全一致的。」沒有證據可以判斷希爾伯特給愛因斯坦的筆記中，是否已有愛因斯坦方程，如果有，那麼愛因斯坦就是在自己提出這個方程（11月25日）前就已經知道結果。

　　另一方面的說法是，明確的重力場方程式事實上並沒有出現在希爾伯特給愛因斯坦的筆記副本裡，甚至也沒有在他11月20日的報告中，希爾伯特是在稍後的論文校對過程中、且是在看了愛因斯坦的論文後，才將愛因斯坦方程式加入他的論文當中。這個兩種看法，在1997年哥廷根大學圖書館公布有關希爾伯特在12月6日所做的論文校對相關文件後，更添加神祕色彩。

　　希爾伯特的校對版論文內容和最後正式發表的版本有些不同，最特別的是，在校對版文件中，可能包含愛因斯坦方程式的半頁手稿被人撕走了。這種狀況使得真相更加撲朔迷離，陰謀論的說法層出不窮：難道是愛因斯坦的支持者摧毀證明方程存在的證據？抑或希爾伯特的支持者想要掩蓋方程式不存在的事實？希爾伯特的變分方法，原則上可以得到愛因斯坦方程式，但是，這個變分推導是很複雜的，希爾伯特當然有能力完成計算，問題是他是否在11月20日的報告前就明確地推導出愛因斯坦方程式，還是他在後來才加到正式發表的論文裡。

　　無論真相為何，愛因斯坦和希爾伯特對廣義相對論的建立，都扮演者極其關鍵的角色。愛因斯坦的物理圖像清晰，動機明確，雖然所需的數學基礎和一些疑惑困擾了他許多年，但終究達到目的；希爾伯特經由愛因斯坦的介紹開始重力的研究，他的數學知識雄厚，利用作用量和變分的方法，給重力場方程式的推導開闢出一個在數學上非常簡潔的方法，精確地說，愛因斯坦方程對應於時空曲率的極值，也就是最大或最小值。這個方法是現代物理學家建構理論的基本手段，影響甚遠。他們兩人之間在1915年的相互交流與討論，肯定對彼此的研究產生正面的影響。誰先推導出重力場方程的爭議，一開始在兩人的內心，也確實曾經激起短暫的不愉快情緒。然而，在他們往後的頻繁交流過程中，幾乎看不出這爭議對他們的友好關係造成任何嫌隙，或許他們終究認為，這件事並不是個值得浪費時間和友誼的議題。

（本文為《相對論百年故事》部分書摘）